Tất cả các nhóm con và nhóm thương của các nhóm cyclic cũng là nhóm cyclic. Đặc biệt, tất cả các nhóm con của Z đều có dạng mZ, với m là số tự nhiên. Tất cả các nhóm này là phân biệt, và tất cả chúng từ nhóm con tầm thường (vớí m=0) đều đẳng cấu với Z. [[Lưới của các nhóm con của Z là đẳng cấu với đối ngẫu của lưới các số tự nhiên sắp thứ tự bởi quan hệ chia hết. Tất cả các nhóm thương của Z là hữu hạn, trừ trường hợp tầm thường Z / {0}. Với mỗi ước dương d của n, nhóm thương Z/nZ có đúng một nhóm con bậc d, sinh ra bởi lớp đồng dư của n/d. Ngoài ra chúng không có các nhóm con nào khác. Lưới của các nhóm con như vậy là đẳng cấu với tập hợp các ước của n, sắp thứ tự theo quan hệ chia hết. Một nhóm cyclic là nhóm đơn nếu và chỉ nếu bậc (hay số phần tử của nó) là số nguyên tố.

Người ta thường sử dụng ký hiệu nhóm thương Z/nZ để chỉ nhóm cyclic cộng với n phần tử.

Trong lý thuyết vành, nhóm con nZ cũng là ideal (n), do đó vành thương cũng được ký hiệu là Z/(n) hoặc Z/n.